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巧证一道组合恒等式

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发表于 2017-5-11 19:25:36 | 显示全部楼层 |阅读模式
巧证一道组合恒等式

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发表于 2017-5-11 22:02:34 | 显示全部楼层
组合数的证明也可以用组合原理证明呀!很漂亮的证明!
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发表于 2017-5-12 13:37:45 | 显示全部楼层
\[\sum_{k=0}^r C_n^kC_m^{r-k}=C_{m+n}^r\]
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发表于 2017-5-12 13:59:46 | 显示全部楼层
本帖最后由 kuing 于 2017-5-12 14:01 编辑

另外一种写法是:
一方面
\[(1+x)^{m+n}=\sum_{r=0}^{m+n}C_{m+n}^rx^r,\]
另一方面
\begin{align*}
(1+x)^{m+n}&=(1+x)^m(1+x)^n \\
&=\left(\sum_{r=0}^mC_m^rx^r\right)\left(\sum_{r=0}^nC_n^rx^r\right) \\
&=\sum_{r=0}^{m+n}\sum_{k=0}^rC_n^kC_m^{r-k}x^r,
\end{align*}
所以有楼上的式子。
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发表于 2017-5-12 15:16:22 | 显示全部楼层
果然是可怕的组合数啊!
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