长风数学论坛

 找回密码
 立即注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 110|回复: 0

一道二元实数条件最值

[复制链接]

3

主题

24

帖子

123

积分

注册会员

Rank: 2

积分
123
发表于 2018-3-24 14:33:52 | 显示全部楼层 |阅读模式
长风大侠 12:58:00
求秒杀的方法

\begin{align*}
\frac 1{a^2+1}+\frac 1{b^2+1}&=\frac {a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\\
&=\frac {(a+b)^2-2ab+2}{(a+b)^2+(ab-1)^2}\\
&=\frac {18-2ab}{16+(ab-1)^2}\\
&=\frac 1{\frac {9-ab}2+\frac {40}{9-ab}-8},
\end{align*}
因为 $ab\leqslant (a+b)^2/4=4$,所以对上式分母使用均值,即得
\[\frac 1{a^2+1}+\frac 1{b^2+1}\leqslant \frac 1{2\sqrt {20}-8}=\frac {2+\sqrt 5}4,\]
当且仅当 $ab=9-\sqrt {80}$ 时取等。

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?立即注册

x
回复

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 立即注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|长风数学工作室  

GMT+8, 2018-4-24 01:12 , Processed in 0.221085 second(s), 7 queries , File On.

Powered by Discuz! X3.3

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表